郑某开办公司资金不足，其父将3间祖屋以25万元卖给即将回国定居的郭某，但其父还未来得及办理过户手续即去世。郑某不知其父卖房一事，继承了这笔房款及房屋，并办理了登记手续。随后，郑某以3 间祖屋作抵押向陈某借款10万元，将房产证交给了陈某，但没有办理抵押登记。下列哪些选项是正确的？（ ）
A、郑某的父亲与郭某之间的房屋买卖合同有效
B、郑某享有房屋的所有权
C、郑某在其父亲去世后，有义务协助郭某办理房屋过户手续
D、陈某对房屋不享有抵押权