张某是某大学一国家重点实验室主任。该实验室由科技部建设，但设在该大学，利用学校提供的房子、部分设备、图书资料、生活条件等。日常运行费用由科技部提供，项目经费由吴某通过承担研究项目从各种渠道获得。某年，吴某承担了一个国家项目，在该实验室进行该项目的研究工作，期间完成了一项重要发明。吴某认为项目是自己争取到的，发明是自己辛苦研究完成的，因此，与发明有关的权利，包括专利的申请权，都应当属于自己，个人有权在我国申请专利。该大学则认为，项目是在设置在学校的国家重点实验室进行的，发明是吴某在学校工作期间完成的，因此，发明的专利申请权应当属于学校，只有学校才有权申请专利。试问：  

吴某的发明的主体是谁？为什么？

如果该发明申请专利，该由谁去申请？为什么？