吴某向银行贷款20万元，银行提出以房产作为抵押担保，吴某即交出房产证，房产证记载吴某为产权人。银行与吴某签订了借款合同和抵押合同，并办理了抵押登记。借款期满，吴某因无力还款，银行正准备拍卖该房产时，突然接到一纸诉状，吴某之弟在诉状中提出，抵押房屋系其父母购置，应归他们兄弟二人共有，现在吴某私自抵押，请求法院判决该抵押关系无效。经查，该房屋为吴某兄弟年幼时其父母为其兄弟二人所购置，但只以吴某姓名登记，其间并无其他记载。

试分析：

吴某能否以其兄弟二人共有的房产设定抵押？为什么？

吴某与银行签订抵押合同的行为是否有效？为什么？

银行能否对吴某抵押的房产行使抵押权？为什么?