甲于2008年3月4日到某公司工作，4月6日，因公负伤，甲一直未与公司签订劳动合同。公司欲与甲解除 劳动关系，而甲则要求公司承担赔偿责任。下 列哪些说法是正确的？

A. 因公司超过1月未与甲签订书面劳动合同，所以应当加倍支付甲工资
B. 甲一直未与公司签订劳动合同，二者之间不存在法定劳动关系，公司不承担赔偿责任
C. 甲已经与公司建立事实劳动关系，公司应当支付何某的医疗费用
D. 虽然甲不适合继续从事设计工作，公司也不得与甲解除劳动合同